Užití teorie množin v jazykovědě

Anna Jaurisová, Miroslav Jauris

[Rozhledy]

(pdf)

Применение теории множеств в языкознании / Emploi de la théorie des ensembles en linguistique

O. S. Kulaginová, žačka prof. A. A. Ljapunova, předního představitele sovětských matematiků pracujících na otázkách strojového překladu, uvažuje v článku O způsobu definování gramatických pojmů na základě teorie množin[1] o vytvoření speciálních metod vhodných pro analýzu a popis kteréhokoli jazyka. V úvodu ukazuje na to, že vytvoření algoritmu pro strojový překlad předpokládá přesně definovaný gramatický systém. Dosavadní gramatiky jím vždy nejsou. Užívají pojmů, které není nutno přesně definovat a které bývají objasňovány opisem, nezřídka s odkazem na smysl; předpokládají ovšem jako uživatele člověka. (I ve zpracování, jaké předpokládá autorka, pracuje se s jednotkami „smyslu“, pokud je lze zachycovat vhodným formálním způsobem.) Stanovit přesnými definicemi soustavu gramatických vztahů a na tomto základě vytvořit algoritmy pro strojový překlad je jedním z úkolů matematické lingvistiky. Příspěvkem k tomu je i článek O. S. Kulaginové.

Metody, kterých O. S. Kulaginová užívá, jsou obdobné metodám užívaným při vytváření matematických teorií. Nepředpokládá žádný dosavadní gramatický systém a za základ svého zkoumání si volí pojmy, které jsou dány zvnějšku a které v daném systému nedefinuje. Jsou to: 1. konečná množina[2] slov  (nazveme si ji slovníkem);[3] konečné posloupnosti[4] slov — i prázdné —, v kterých se totéž slovo může objevovat i na více místech, nazývají se větami; 2. množina vyznačených (otmečennych) vět v dalším textu budeme nazývat vyznačené věty správnými větami;[5] 3. systém vzájemně disjunktních podmnožin slov[35]níku,[6] okruhy slova;[7] slovník s daným systémem okruhů a s danou množinou správných vět je nazýván jazykem.

V úvodu chceme zdůraznit, že podáváme jen podrobnou zprávu o článku s nejnutnějším aparátem teorie množin, bez důkazů teorémů. Zpráva je psána na úrovni méně abstraktní, než jakou má původní práce. Pro názornost doplňujeme zprávu příklady z češtiny. Vycházíme při nich z fragmentárních „slovníků“ a nechceme jimi dokázat obecnou platnost definic v českém jazyce.

Je-li dána nějaká věta A a každému slovu této věty můžeme přiřadit gramatickou kategorii, do které toto slovo patří, pak každé větě (posloupnosti slov) odpovídá příslušná posloupnost gramatických kategorií — struktura této věty.

Kulaginová uvažuje o různých rozkladech[8] slovníku (o rozkladu na soubory stejnovýznamových tvarů, o rozkladu na třídy, o rozkladu na typy) a definuje strukturu dané věty vzhledem k danému rozkladu slovníku. Označíme-li daný rozklad slovníku např. B, strukturu věty A vzhledem k tomuto rozkladu budeme značit B(A). Předpokládejme, že máme nějaký rozklad slovníku a nějakou větu A; napíšeme-li místo každého slova dané věty onen prvek rozkladu, do kterého toto slovo patří, získáme B-strukturu věty A (strukturu věty A vzhledem k rozkladu B). Mějme např. rozklad: {množina podstatných jmen, množina sloves, množina ostatních slov}. Věta „Praha je město“ má vzhledem k tomuto rozkladu takovouto strukturu: množina podstatných jmen, množina sloves, množina podstatných jmen.

B-struktura věty je správná tehdy a jen tehdy, když existuje aspoň jedna správná věta, která tuto strukturu má.

Jedním z nejdůležitějších vztahů mezi dvěma prvky daného rozkladu slovníku je vztah jejich ekvivalence vzhledem k danému rozkladu. Jestliže si daný rozklad slovníku označíme B, pak ekvivalenci dvou prvků tohoto rozkladu vzhledem k tomuto rozkladu budeme nazývat B-ekvivalencí. Předpokládejme, že B_i a B_j jsou dva prvky nějakého rozkladu B. Ty jsou navzájem B-ekvivalentní tehdy a jen tehdy, když v B-struktuře libovolné věty můžeme jeden nahradit druhým, aniž se nám správná struktura změní v nesprávnou nebo naopak. Ilustraci tohoto mimořádně důležitého vztahu uvedeme v dalším textu.

Jedním z nejelementárnějších rozkladů slovníku je jeho jednotkový rozklad.[9] Kulaginová vychází z jednotkového rozkladu slovníku (budeme jej značit B^jed) a bere v úvahu nejprve struktury vzhledem k tomuto rozkladu. B^jed-strukturu věty A budeme značiti B^jed(A).

[36]Uveďme příklad slovníku, jeho jednotkový rozklad, příklad B^jed-struktury a B^jed-ekvivalence.

slovník = {stůl, koberec, stojan, květina, je, zelený, starý, zelená, stará}

B^jed = {{stůl}, {koberec}, {stojan}, {květina}, {je}, {zelený}, {starý}, {zelená}, {stará}}

A = stůl je zelený

B^jed(A) = {stůl}, {je}, {zelený}

B₁^jed = {stůl}

B₂^jed = {koberec}

Jestliže se nahrazením {stůl} pomocí {koberec} žádná správná B^jed-struktura nezmění v nesprávnou a naopak, jsou {stůl}, {koberec} vzájemně B^jed-ekvivalentní.

Dále budeme definovat tzv. odvozený rozklad vzhledem k B^jed-rozkladu, označíme si jej B'^jed, který je zhrubením[10] B^jed-rozkladu. Definice zní: každý prvek B'^jed-rozkladu se rovná sjednocení všech prvků B^jed-rozkladu, které jsou navzájem B^jed-ekvivalentní. B'^jed-rozklad námi zvoleného slovníku bude: B'^jed = {{stůl, koberec, stojan}, {květina}, {je}, {zelený, starý}, {zelená, stará}}. B'^jed-rozklad je rozklad slovníku na tzv. tvarové soubory, tj. soubory stejnovýznamových tvarů (semějstva), prvky tohoto rozkladu jsou tvarové soubory. Jinými slovy řečeno: v tvarovém souboru se sjednocují taková slova, že záměna libovolného slova slovem z téhož tvarového souboru nezmění správnou větu v nesprávnou ani naopak.

Jazyk, na který Kulaginová omezuje svoje další úvahy, nazývá prostým jazykem. Je definován jako jazyk, v kterém platí následující vztahy (x, x', y označují libovolná, blíže neurčená slova):

1. Průnik okruhu, v kterém je slovo x, a tvarového souboru, v kterém je slovo x, obsahuje jediný prvek.

2. Jestliže slovo x' patří do okruhu slova x a slovo y patří do tvarového souboru slova x, pak průnik tvarového souboru slova x' a okruhu slova y není prázdná množina, čili obsahuje aspoň jedno slovo.

Uveďme si příklad, v kterém budou obě podmínky prostého jazyka splněny. Pro označení okruhu si zvolíme grafické znázornění:  a pro označení tvarového souboru:

 

Zvolme si:

x — stolem

x' — stolu

y — stojanem

Ad 1. Průnik okruhu, v kterém je slovo x (stolem) a tvarového souboru, v kterém je slovo x (stolem), obsahuje jediné slovo x (stolem).

[37]Ad 2. Slovo x' (stolu) patří do okruhu slova x (stolem) a slovo y (stojanem) patří do tvarového souboru slova x (stolem) a platí také, že průnik tvarového souboru slova x' (stolu) a okruhu slova y (stojanem) není prázdná množina, obsahuje slovo stojanu.

Podotýkáme, že zvoleným příkladem nedokazujeme, že čeština je prostý jazyk. Neboť z toho, že pro některá česká slova a pro některou volbu trojic slov platí podmínky prostého jazyka, neplyne, že pro všechna slova a pro každou volbu trojic slov jsou podmínky prostého jazyka v češtině splněny.

V poznámce autorka uvádí, že ruština není prostým jazykem. Podstatná jména všech tří rodů, která se v daném pádě v jednotném čísle rozdělují do tří tvarových souborů, se v daném pádě v množném čísle všechna slučují v jeden tvarový soubor, v množném čísle jsou tedy B^jed-ekvivalentní (prichodili znakomyje ženščiny, prichodili znakomyje tovarišči apod.). Schematicky znázorněno:

 

Zvolme si:

x = tovarišči

x' = tovarišč

y = ženščiny

Vidíme, že slovo x' (tovarišč) patří do okruhu slova x (tovarišči) a slovo y (ženščiny) patří do tvarového souboru slova x (tovarišči), avšak průnik tvarového souboru slova x' (tovarišč) a okruhu oslav y (ženščiny) je prázdná množina, čili neobsahuje žádný prvek.

V češtině nepatří v množném čísle podstatná jména rodu mužského, ženského a středního do jednoho tvarového souboru. Proto by nás obdobný příklad v češtině nepřesvědčil o tom, že čeština není prostý jazyk. Můžeme však uvést jiný příklad, v kterém ukážeme, že ani čeština není prostým jazykem. Schematicky znázorněno:

 

Zvolme si:

x = stoly

x' = stůl

y = dveře

Druhá podmínka prostého jazyka tu není splněna: slovo x' (stůl) patří do okruhu slova x (stoly) a slovo y (dveře) patří do tvarového souboru slova x (stoly), avšak průnik tvarového souboru slova x' (stůl) a okruhu slova y (dveře) je prázdná množina.

[38]Ovšem i z jazyka, který není prostý, lze někdy vybrati takovou část, která tvoří prostý jazyk. V příkladech, které dále pro názornost budeme uvádět, budeme předpokládat úsek češtiny, který splňuje podmínky prostého jazyka.

Další gramatickou kategorií, která je definována v prostém jazyce, je třída.[11] Třídou slova x — označíme si ji K (x) — budeme nazývat množinu slov x', která splňuje aspoň jednu z následujících podmínek: 1. Průnik okruhu slova x a tvarového souboru slova x' není prázdná množina. 2. Průnik okruhu slova x' a tvarového souboru slova x není prázdná množina. Lze dokázat, že v prostém jazyce jsou obě tyto podmínky vzájemně ekvivalentní. Jinak řečeno, jednu třídu tvoří taková slova, že v tvarovém souboru jednoho je slovo z okruhu druhého. Např. do třídy slova stolu patří slovo stojanem, neboť průnik okruhu slova stolu a tvarového souboru slova stojanem není prázdná množina.

Lze dokázati, že množina všech tříd je v prostém jazyce rozkladem slovníku (druhý teorém O. S. Kulaginové); označíme jej B^k.

Uveďme si příklad slovníku a jeho rozkladu na třídy:

slovník = {stůl, stojan, stolu, stojanu, květina, květině, cesta, cestě, je, zelený, zelenému, zelená, zelené}

B^k = {{stůl, stojan, stolu, stojanu}, {květina, květině, cesta, cestě}, {je}, {zelený, zelenému, zelená, zelené}}

Třídy lze definovat i v jazyce neprostém. Pak ale by jedno slovo mohlo patřit do dvou různých tříd a množina všech tříd by nebyla rozkladem slovníku. Uvedeme si konkrétní příklad rozkladu na třídy v neprostém jazyce — v ruštině.

Dokážeme, a) že třída slova ženščina se nerovná třídě slova ženščiny a b) že existuje prvek, který patří do obou těchto navzájem různých tříd.

Ad a) Slovo mužčina nepatří do třídy slova ženščina, protože průnik okruhu slova ženščina a tvarového souboru slova mužčina je prázdná množina a také průnik okruhu slova mužčina a tvarového souboru slova ženščina je prázdná množina. Slovo mužčina patří do třídy slova ženščiny, protože průnik okruhu slova mužčina a tvarového souboru slova ženščiny není prázdná množina.

Ad b) Slovo ženščina patří do třídy slova ženščiny, protože průnik okruhu slova ženščiny a tvarového souboru slova ženščina není prázdná množina. Slovo ženščina patří ovšem také do třídy slova ženščina. Patří tedy toto slovo do dvou různých tříd.

Poslední v řadě definovaných gramatických kategorií jsou typy. Tak jako z B^jed-rozkladu jsme získali sjednocením všech jeho B^jed-ekvivalentních prvků odvozený rozklad, rozklad na tvarové soubory, rozklad na typy je získán obdobně z rozkladu B^k, rozkladu na třídy.

Rozklad na typy, který značíme B^t. je definován takto: Každý prvek B^t-rozkladu se rovná sjednocení všech B^k-ekvivalentních prvků B^k-rozkladu. V rozkladu na typy slučujeme již tedy např. podstatná jména všech rodů do jednoho typu.

Doposud byly sjednocovány prvky rozkladů slovníku do množin obdobných gramatickým kategoriím, do tvarových souborů, tříd a typů. V další části jsou zkoumány gramatické vztahy mezi slovními tvary ve větě. Klíčovým pojmem tu je pojem konfigurace.

Mějme nějaký rozklad B slovníku a strukturu dané věty A vzhledem k tomuto rozkladu, její B-strukturu. B-konfigurací prvého řádu — označíme si ji B̃₍₁₎ — je taková B-struktura, která má alespoň dva prvky a ke které existuje prvek — označíme si jej B_α(1) — takový, že B-struktura B(A₁) B̃₍₁₎ B(A₂) dané věty A je správná tehdy a jen tehdy, je-li B-struktura B(A₁) B_α(1) B(A₂) správná, ať jsou věty A₁, A₂ jakékoli; přitom A₁ nebo A₂ nebo obě tyto věty mohou být i prázdnými posloupnostmi slov. Prvek B_α(1), kterým je možno na[39]hradit B-konfiguraci prvního řádu, aniž se nám změní správná B-struktura v nesprávnou nebo naopak, nazývá se výsledným prvkem.

Abychom mohli zavésti konfigurace druhého řádu, budeme nejprve definovat B-strukturu prvého řádu. Je to taková B-struktura, která neobsahuje B-konfigurace prvého řádu. V B-struktuře prvého řádu můžeme obdobně hledat konfigurace, tzv. B-konfigurace druhého řádu, B̃₍₂₎. B-strukturou druhého řádu rozumíme takovou B-strukturu, v které se neobjevuje žádná B-konfigurace druhého řádu. Tak bychom mohli pokračovat až ke konfiguraci k-tého řádu a k B-struktuře k-tého řádu.

Mějme nějaký slovník a jeho rozklad na typy:

A = je velmi starý muž

B^t(A) = množina sloves, množina příslovcí, množina přídavných jmen, množina podstatných jmen

Konfigurací prvého řádu B̃^t₍₁₎ je množina příslovcí + množina přídavných jmen. Jejím výsledným prvkem B^t_α(1) je množina přídavných jmen. Po nahrazení B̃^t₍₁₎ pomocí B^t_α(1) dostaneme B^t-strukturu prvého řádu. V B^t-struktuře získané věty už není B̃^t₍₁₎, je tedy strukturou prvého řádu a můžeme v ní hledat B̃^t₍₂₎. V našem příkladě jí bude množina přídavných jmen + množina podstatných jmen s výsledným prvkem: množina podstatných jmen.

Uveďme si ještě v přehledu struktury našeho příkladu:

A      = je velmi starý muž

B^t(A) = množina sloves, množina příslovcí, množina příd. jmen, množina podst. jmen

                                                        

                                                            konfigurace prvého řádu, B̃^t₍₁₎

A'      = je starý muž

B^t(A') = množina sloves, množina přídavných jmen, množina podst. jmen

                                 

                                        konfigurace druhého řádu, B̃^t₍₂₎

(A'')   = je muž

B^t(A'') = množina sloves, množina podstatných jmen

V dalším výkladu bere autorka v úvahu dva rozklady B a D slovníku, při čemž rozklad B je zhrubením rozkladu D. Schematický příklad:

slovník      = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}

D             = {{a, b}, {c, d}, {e, f}, {g, h}, {i, j}}

stručně:      {    X   ,     Y   ,    Z   ,    U    ,   V  }

B             = {{a, b, c, d}, {e, f, g, h, i, j}}

stručně:      {       A       ,           B        }

Jestliže se některá D-konfigurace zobrazuje[12] do B-konfigurace a její výsledný prvek se zobrazuje do výsledného prvku B-konfigurace, nazývá se D-konfigurace podřazenou dané B-konfiguraci a B-konfigurace nadřazenou dané D-konfiguraci.

[40]Kulaginová rozlišuje tři druhy vztahů, v kterých může býti B ku A vzhledem k rozkladu D. Bez újmy obecnosti uvedeme tři schematické příklady.

I. Předpokládejme, že A, B je B-konfigurací a všechny D-konfigurace, které jsou dané B-konfiguraci podřazeny, jsou: X,Z ; X,U ; X,V ; Y,X ; Y,U ; Y,V. Nyní si rozdělíme všechny D-konfigurace na skupiny: do jedné skupiny budou patřit všechny D-konfigurace, v kterých stojí na prvém místě jeden a týž prvek. Máme tedy v našem příkladě dvě skupiny:

X,Z ; X,U ; X,V ;

Y,Z ; Y,U ; Y,V .

Pro každou skupinu platí, že na druhém místě stojí všechny prvky zobrazené do B. V takovém případě Kulaginová říká, že B je ku A ve vztahu třetího druhu vzhledem k rozkladu D. Takovýto vztah představuje úplnou gramatickou nezávislost B na A vzhledem k rozkladu D.

II. Nyní předpokládejme, že všechny D-konfigurace, které jsou dané B-konfiguraci podřazeny, jsou:

X,Z ; X,U ;

Y,Z ; Y,V .

Tvoří obdobně opět dvě skupiny. Pro každou skupinu platí, že na druhém místě stojí více než jeden prvek zobrazený do B, ale ne všechny. Pokud rozumíme dobře autorčinu výkladu, v takovémto případě je B ku A ve vztahu druhého druhu vzhledem k rozkladu D. Tento vztah představuje částečnou gramatickou závislost B na A vzhledem k rozkladu D.

III. Nyní předpokládejme, že všechny D-konfigurace podřazené B-konfiguraci A, B jsou: X,Z ; Y,V. Pro každou skupinu platí, že na druhém místě stojí jeden a týž prvek zobrazený do B. V takovémto případě je B ku A ve vztahu prvého druhu vzhledem k rozkladu D. Tento vztah představuje jednoznačnou gramatickou závislost B na A vzhledem k rozkladu D.

Na příkladě z češtiny si objasníme ještě vztah třetího, druhého a prvého druhu. Příklad vztahu třetího druhu:

slovník         = {velmi, silně, starý, jarní, stará, jarní, staré, jarní}

D-rozklad

na tvarové

soubory        = {{velmi, silně}, {starý, jarní}, {stará, jarní}, {staré, jarní}}

stručně:          {        X        ,        Y         ,         Z        ,         U       }

B-rozklad

na typy         = {{velmi, silně}, {starý, jarní, stará, jarní, staré, jarní}}

stručně:           {         A       ,                        B                          }

Předpokládejme, že A, B je B-konfigurací a všechny D-konfigurace, které jsou podřazené B-konfiguraci A, B, jsou:

{velmi, silně}, {starý, jarní}

         X       ,         Y

{velmi, silně}, {stará, jarní}

         X       ,         Z

{velmi, silně}, {staré, jarní}

         X       ,         U

Pro tuto skupinu platí, že na druhém místě stojí všechny tvarové soubory přídavných jmen zobrazené do typu přídavných jmen. V takovém případě je typ přídavných jmen ve vztahu třetího druhu k typu příslovcí vzhledem k rozkladu na tvarové soubory.

Příklad vztahu druhého druhu:

slovník         = {vidím, zdravím, ženu, květinu, muže, chlapce, mužům, chlapcům}

D-rozklad

na tvarové

soubory        = {{vidím, zdravím}, {ženu, květinu}, {muže, chlapce}, {mužům, chlapcům}}

stručně:           {         X             ,          Y           ,           Z           ,             U               }

B-rozklad

na typy         = {{vidím, zdravím}, {ženu, květinu, muže, chlapce, mužům, chlapcům}}

stručně:           {           A           ,                                 B                                      }

[41]Předpokládejme, že všechny D-konfigurace, které jsou podřazené B-konfiguraci A, B, jsou:

{vidím, zdravím}, {ženu, květinu}

          X          ,          Y

{vidím, zdravím}, {muže, chlapce}

          X          ,          Z

Pro tuto skupinu platí, že na druhém místě stojí vždy více než jeden tvarový soubor podstatných jmen zobrazený do typu podstatných jmen, ale ne všechny. V takovém případě je typ podstatných jmen ve vztahu druhého druhu k typu sloves vzhledem k rozkladu na tvarové soubory.

Příklad vztahu prvého druhu:

slovník         = {milá, prostá, milý, prostý, žena, květina, muž, chlapec}

D-rozklad

na tvarové

soubory        = {{milá, prostá}, {milý, prostý}, {žena, květina}, {muž, chlapec}}

stručně:          {       X          ,        Y          ,         Z           ,        U           }

B-rozklad

na typy         = {{milá, prostá, milý, prostý}, {žena, květina, muž, chlapec}}

stručně:           {                 A                 ,                  B                      }

Předpokládejme, že všechny D-konfigurace, které jsou dané B-konfiguraci A, B podřazené, jsou:

{prostá, milá}, {žena, květina}

          X       ,         Z

{prostý, milý}, {muž, chlapec}

          Y       ,         U

Pro každou z těchto skupin platí, že na druhém místě stojí vždy jediný tvarový soubor podstatných jmen zobrazený do typu podstatných jmen. V takovém případě je typ podstatných jmen ve vztahu prvého druhu k typu přídavných jmen vzhledem k rozkladu na tvarové soubory.

Slovo a slovesnost, ročník 21 (1960), číslo 1, s. 34-41

Předchozí Dana Konečná: Poznámky k významům „izolovaných“ pádů v současné spisovné češtině

Následující Vladimír Skalička: Z nové typologické literatury