Lidová přísloví a teorie logických typů

Otakar Zich

[Články]

(pdf)

Народные пословицы и теория логических типов / Les proverbes populaires et la théorie des types logiques

Účelem tohoto článku je zamyšlení nad aparátem, který dovoluje formálně vyjádřit značně složité stavby lidových přísloví. Vedlejším výsledkem je názorný důkaz neschopnosti tradiční logiky formulovat v jejích prostředcích vztahy pojmů vyskytujících se v příslovích. Předem je třeba podotknout, že ani z hlediska matematické logiky, ani z hlediska významu nebo geneze přísloví nepřináší článek nic nového. Avšak použitý aparát dovolí, podle autorova názoru, obdivovat náročnost abstrakcí, jimiž přísloví zcela nenuceně operují, a tím získat trochu jiný pohled na jejich charakter. Článek nepočítá s dalekosáhlým zobecněním některých výsledků, ač by bylo možné. Proto se spokojíme ukázkami několika analýz přísloví, které ovšem provedeme podrobněji, než by na první pohled stačilo.

Nejprve několik nejběžnějších poznámek týkajících se aparátu logiky. Jeho základem, který tu uvedeme bez potřebné přesnosti, je predikátová logika prvního a vyšších řádů. Proměnné, resp. konstanty nultého řádu budou označeny malými písmeny x, y, z, …, resp. a, b, c, …. Predikáty prvního řádu budou označeny velkými písmeny, opatřenými vlevo nahoře indexem 1, počet jejich míst (predikáty jednomístné, dvojmístné atd.) indexem dole, takže označení jednomístného predikátu bude ¹P₁ ( ), dvojmístného ¹R₂ (,) atd. Vložíme-li za znak predikátu do (pomocných) závorek proměnnou x, resp. uspořádanou dvojici ⟨x, y⟩, dostaneme formu výroku: o x platí ¹P₁, x a y jsou vázány vztahem ¹R₂ atd. Kdybychom místo proměnných kladli konstanty (jména individuí ze základního oboru úvahy), budeme opisovat výraz ¹P₁ (a) obratem: o (předmětu) a platí ¹P₁, nebo jednodušeji: a má vlastnost ¹P₁. ¹R₂ (a, b) vyjádříme obratem: a je spojeno s b relací ¹R₂. Podobně by tomu bylo v případě vícemístných predikátů. Zcela analogicky budeme postupovat v případě vyšších řádů. Argumenty predikátů prvního řádu jsou proměnné individuí nebo individuální konstanty. Argumenty predikátů druhého řádu jsou predikátové proměnné prvního řádu nebo konstantní (určité) predikáty prvního řádu. Predikáty druhého řádu označíme indexem 2 nahoře na levé straně znaku predikátu.

Bude tedy například ²B₂ predikát druhého řádu a výraz ²B₂ (¹C₁, ¹D₁) vyslovuje o uspořádané dvojici ⟨¹C₁, ¹D₁⟩ predikátů prvního řádu, že jsou vázány relací ²B₂.

Jestliže	1C1 má význam ‚cestovat ve dne‘,
	1D1 má význam ‚cestovat v noci‘,

může za určitých okolností platit ²B₂ (¹C₁, ¹D₁), dáme-li predikátu ²B₂ význam ‚je bezpečnější‘.

Obsah výrazu ²B₂ (¹C₁, ¹D₁) je v přirozeném jazyku vyjádřen větou: Je bezpečnější cestovat ve dne než v noci.

V textu užijeme obvyklých logických spojek, jejichž označení jsou: v (disjunkce, nevylučující nebo), . (konjunkce), ~ (negace). Z kvantifikátorů máme jen obecný a existenční. Je-li x volná proměnná predikátu ¹P₁, pak výraz (x)¹P₁(x) čteme: pro každé x je P(x), výraz (Ex)¹P₁(x) čteme: existuje (alespoň jedno) x pro něž ¹P₁(x).

Konečně ještě připomeneme λ-operátor (lambda-operátor), který umožňuje (mimo jiné) vyvodit z dané formy výroku (s proměnnými tedy) predikáty. Obdobnou funkci λ-operátoru pro tzv. funktory nebudeme v tomto textu připomínat. Užití λ-operátoru ukážeme jen na elementárních příkladech.

[17](1) Je-li ¹P₁ (x) forma výroku „x má vlastnost ¹P₁“ (intenzionálně) nebo jinak, „x patří k třídě určené ¹P₁“ (extenzionálně), potom (λx) ¹P₁ (x) = ¹P₁.

(2) Je-li ¹R₂ (x, y) forma výroku „x, y jsou spojeny vztahem ¹R₂“, pak (λxy) ¹R₂ (x, y) = ¹R₂.

Obdobné je užití λ-operátoru u predikátů vyšších řádů. Užití λ-operátoru v našem textu není nijak samoúčelné. Lidová přísloví operují totiž velice náročně nemalými abstrakcemi, které jsou patrně získány zkušeností z mnoha výroků, v nichž se vyskytují predikáty, o jejichž vztahy potom jde. To snad bude patrno z vlastních rozborů přísloví.

Pokud jde o logické spojky, jež jsme uvedli, učiníme ještě dohodu, která platí také v Carnapově jazyce C (Carnap, 1973). O výrazu ¹P₁ (a) můžeme říci v terminologii vlastností, že a má vlastnost ¹P₁. V terminologii logických tříd řekneme, že a je prvkem třídy ¹P₁. O výrazu ¹R₁ (a, b) můžeme říci, že a, b jsou vázány relací ¹R₂, ale také, že uspořádaná dvojice ⟨a, b⟩ patří do třídy vytvářející relaci ¹R₂. Protože je možno říci o prvku a, pro nějž platí ¹P₁ (a) v ¹Q₁ (a), že má vlastnost ¹P₁ nebo (také) ¹Q₁, či ekvivalentně, že patří k součtové třídě tříd ¹P₁, ¹Q₁, rozšíříme použití původně výrokových spojek konjunkce, disjunkce a negace i na spojení predikátů. Bude proto ¹P₁ v ¹Q₁ označovat součet tříd ¹P₁, ¹Q₁ (jde-li pro jednoduchost o predikáty o stejném počtu míst), obdobně ¹P₁ . ¹Q₁ bude označovat průnik (součin) těchto predikátů a konečně ~ ¹P₁ bude označovat doplněk predikátu ¹P₁ v rámci určitého univerza úvahy. Pokud by ještě bylo třeba něco dodat k použitému aparátu logiky, učiníme tak na svém místě později.

 

Začneme příslovím

(23, 370) Ctnosť a krása velmi spolu svědčí ale řídko bývají. (Čelakovský, 1893).[1]

α) Užijeme nejprve nejjednoduššího přístupu k tomuto přísloví. Množinou individuí nultého řádu bude množina lidí, proměnná individuí bude označena x. Jistěže je zcela přirozené, že lidé charakterizovali (pro nás již trochu starobyle) své spoluobčany výroky jako: Petr je ctnostný člověk, kde Petr je jméno osoby, k níž se právě uvedený výrok vztahoval. Obecně máme formu výroku: x je ctnostný, což s použitím predikátu zapíšeme jako ¹C₁ (x). Obdobně lze porozumět výroku: Petr je krásný (člověk), jenž spadá pod výrokovou formu ¹P₁ (x). Užitím λ-operátoru získáme v prvním případě (λx) ¹C₁ (x) = ¹C₁, tedy predikát ctnost, v druhém obdobně z (λx) ¹K₁ (x) = ¹K₁ predikát krásu. O koexistenci těchto predikátů se přísloví vyslovuje tak, že velmi spolu svědčí, což poukazuje na predikát, který označíme ²VS₁ a jeho jediným argumentem bude průnik (součin) predikátů ¹C₁, ¹K₁. První část přísloví tedy znamenáme ve formě ²VS₁ (¹C₁ . ¹K₁). Druhá část přísloví je zaznamenána srozumitelně výrazem ²R₁ (¹C₁ . ¹K₁), kde pro nový predikát, platící o součinu ¹C₁ . ¹K₁, volíme znak ²R₁.

Celé přísloví zaznamenáme tvarem

²VS₁ (¹C₁ . ¹K₁) . ²R₁ (¹C₁ . ¹K₁)

neboť spojku ale musíme přepsat spojkou a (tedy konjunktivně). ²VS₁ a ²R₁ jsou zřejmě predikáty druhého řádu, neboť se vyslovují o součinu predikátů prvního řádu, zachováme-li postup, jímž jsme k formálnímu zápisu přísloví došli.

β) Aniž bychom měnili základní množinu individuí nultého řádu a proměnnou individuí nultého řádu, můžeme dát formálnímu zápisu citovaného přísloví jinou podobu.

[18]Mějme jednomístné predikáty ¹C₁₁, ¹C₁₂, … ¹C_1K, jež ve spojení s individuální proměnnou dávají formy výroků ¹C_1i (x),[2] což čteme, že x má vlastnost ¹C_1i. Predikáty ¹C_1i nechť určují takové vlastnosti lidí, jež jsou nebo byly souhlasně pokládány za ctnostné. Tak jistě k těmto predikátům patří vlastnosti, jako je: pravdomluvnost, čestnost v jednání, obětavost pro druhé a jiných více, o nichž se obsahově také mnohá přísloví vyslovují. Uvažme, jak můžeme chápat disjunkci

¹C₁₁ (a) v ¹C₁₂ (a) v … v ¹C_1K—1 (a) v C_1K (a).

Má-li tato disjunkce pravdivostní hodnotu pravda (tj. hodnotu označovanou běžně 1), musí mít individuální a alespoň jednu z vlastností ¹C_1i, může jich však mít více, popř. všechny, podle ustáleného pojetí spojky disjunkce.

Predikáty ¹C_1i patří všechny k jistému hodnocení, které se v praxi provádí obratem např. pravdomluvnost je ctnost. Můžeme tedy vyslovit o individuu nazvaném a, že k němu příslušné predikáty (alespoň jeden) lze hodnotit jako predikáty spadající pod (nový) predikát ²C₁, který nazveme ctnost. Je to zřejmě predikát druhého řádu a pro každé i (v hořejším omezení) platí ²C₁ (¹C_1i).

Kdybychom zcela obdobně uvažovali o predikátech, které spadají pod predikát krásy, získali bychom predikát druhého řádu ²K. Není obtížné tyto predikáty druhého řádu osamostatnit užitím λ-operátoru. K tomu stačí chápat ¹C₁ jako predikátovou proměnnou prvního řádu nabývající konkrétních hodnot ¹C_1i, tedy predikátových konstant prvního řádu. Pak (λ¹C₁) ²C₁ (¹C₁) = ²C₁ a to je predikát ctnost, který potřebujeme. Zcela obdobně je tomu s predikátem ²K₁.

V tomto druhém případě by predikáty VS, R nebyly druhého řádu, nýbrž třetího. Přepis přísloví, které jsme nyní rozebírali trochu složitěji, by zněl

³VS₁ (²C₁ . ²K₁) . ³R₁ (²C₁ . ²K₁).

Druhý přístup patrně vystihuje spíše postupné abstrakce, jež po stupních zpracovávají zkušenost, jejímž kondenzovaným výrazem je přísloví, z něhož jsme vyšli.

V nauce tradiční logiky, pokud se vztahuje k pojmům (jí pojednávaným), by v případě α nečinilo potíže vyjádřit průnik C . K (v této úvaze opouštíme indexy dříve nutné). V znázornění tzv. rozsahu pojmu C a rozsahu pojmu K Eulerovými kruhy by součin C . K odpovídal společné ploše obou kruhů, jejichž obvody se protínají. Avšak přísloví hovoří ještě o tom, že tato plocha objektů, jež patří ke ctnostným a krásným, spadá pod plochu objektů, jež na jedné straně velmi spolu svědčí (1), na druhé straně řídko bývají (2). Protože jde o konjunktivní spojení obou uvedených charakteristik, musila by plocha K . C ležet v ploše, jež je společná rozsahům pojmů, jež by v tradiční logice odpovídaly charakteristikám (1), (2). Označme tyto charakteristiky stejnými znaky jako v analýze α, tj. VS a R. Těmto pojmům tradiční logiky by odpovídaly příslušné rozsahy. Protože lze těžko předpokládat, že by jeden z nich (kterýkoli) byl podřazen druhému, dá se konjunktivní spojení obou charakteristik (1), (2) chápat asi jedině jako tzv. zkřížený pojem pojmů VS a R. Pak by naše plocha K . C ležela v společné ploše VS a R. Pokud by se tato plocha nekryla s plochou K . C, což je značně absurdní,[3] musila by mít alespoň nějakou část plochy společnou s K nebo také s C. Takové části plochy VS . R by měly společné části buď jen s K a doplňkem C, nebo jen s C a doplňkem K. Vně plochy K . C jsou totiž, přihlížíme-li jen k rozsahům K, C, plochy K . ~ C, ~ K . C a ~ K . ~ C. Kdyby alespoň jedna z ploch K . ~ C či ~ K . C ležela ve VS . R, platilo by: krása a ne[19]ctnost velmi spolu svědčí, ale řídko bývají, nebo ošklivost (nekrása) a ctnost velmi spolu svědčí, ale řídko bývají. Tím spíše by absurdně dopadlo, kdyby průnik doplňků K, C, tedy ~ K . ~ C, alespoň zčásti spadal do průniku VS a R. Ve všech třech posledních případech bychom dostali znění, které je v rozporu s naším příslovím.

Z toho je snadno patrné, že pokus reprezentovat přísloví aparátem tradiční nauky o pojmu nevede k užitečným výsledkům, neboť připouští případy, jež jeho smyslu odporují. V dalších ukázkách si ozřejmíme ještě názorněji, že taková reprezentace je nemožná. Moderní logika již dávno nepotřebuje doporučení, že její výkonnost a praktické uplatnění je nesrovnatelné s obdobnými funkcemi tradiční logiky. Avšak ta se ještě namnoze vyučuje a fakt, že „semper aliquid haeret“, je autorovi tohoto článku dobře znám.

 

Druhé přísloví, jímž se budeme zabývat, zní

(32, 57) Zlé znáti není zlé; ale zlé poznati a tak činiti zlé jest. Vzhledem k druhé části přísloví je možno vlastnost zlé omezit jen na lidské činy. Nebudeme tedy uvažovat o skutečnostech, jako jsou třeba přírodní, jež jsou motivovány bez lidského zásahu a jimž také atribut zlé běžně přisuzujeme (zlá bouřka, zlé zemětřesení, zlá povodeň aj). V druhé části přísloví nahradíme výraz poznati beze změny smyslu výrazem znáti, zvolíme si tedy týž predikát.

Jsou tu dva dvojmístné predikáty ¹P₂, ¹P₂ odpovídající pořadě výrazu znát, resp. činit. Přední obory obou predikátů jsou množiny lidí, zadní obory množiny činů. Proměnnou nultého řádu v prvém oboru označíme x, proměnnou v druhém oboru y. Kromě toho je tu ještě jednomístný predikát ¹Z₁, odpovídající zlému, jehož oborem je množina lidských činů. V zavedeném označení je forma výroku ¹P₂ (x, y) . ¹Z₁ (y) záznamem obratu: x zná y a y je zlé. Analogicky ¹C₂ (x, y) . ¹Z₁ (y) je záznamem obratu: x činí y a y je zlé. Protože obě zadní oblasti predikátů ¹P₂, ¹C₂ jsou omezeny na oblast zlého, zavedeme jednoduchou definicí nové dvojmístné predikáty takto

¹P₂ (x, y) . ¹Z₁ (y) = D_f ¹PZ₂ (x, y)

¹C₂ (x, y) . ¹Z₁ (y) = D_f ¹CZ₂ (x, y).

Pravá strana první rovnosti vyjadřuje obrat x zná zlé y, pravá strana druhé rovnosti obrat x činí zlé y.

λ-operací osamostatníme oba potřebné predikáty „znání zlého“ a „činění zlého“

(λxy) ¹PZ₂ (x, y) = ¹PZ₂ a (λxy) ¹CZ₂ (x, y) = ¹CZ₂.

První část přísloví vyžaduje zavedení nového predikátu, který charakterizuje hodnocení obsažená v přísloví, totiž není zlé v první části přísloví, kdežto zlé jest v druhé části. Tento predikát musí být druhého řádu, neboť jeho argumenty jsou predikáty prvního řádu. Budiž to tedy predikát ²Z a formulace přísloví bude mít podobu

~ ²Z₁ (¹PZ₂) . ²Z₁ (¹PZ₂ . ¹CZ₂).

V této formulaci není obsažen spor, neboť argumenty predikátu ²Z₁ jsou různé, jeden je ¹PZ₂ a druhý, který je třeba chápat jako celek, je ¹PZ₂ . ¹CZ₂.

Bylo by ještě třeba zmínit se o tom, proč uvedené vyjádření potřebuje dva predikáty zlého, a to řádově odstupňované. Žádný predikát nemůže být argumentem sebe sama. Utvoření výrazu T(T) pro jakékoli T konečného řádu je v teorii typů nepřípustné. To je dávno známý výsledek Russellovy teorie typů, který je nutno respektovat v logických systémech, jež s takovou teorií pracují. Dá se snadno ukázat, že připuštění výrazů jako je T(T) vede kromě jiného k proslulé Russellově antinomii. Ale není přípustný ani výraz T(W), jestliže na predikátu W je nějak podstatně zúčastněno T. A to je právě případ našich argumentů ¹PZ₂, jak je patrno na jejich definicích. Uvedený důvod různosti řádů ²Z₁, ¹Z₁ má povahu logickou.

[20]Samo lidové přísloví používá výrazu zlé jednak jako charakteristiky zlého činu, jednak jako charakteristiky jednání, jež spočívá v páchání poznaného zlého činu. Lidová moudrost si tu zřejmě vypracovala hledisko, které dovoluje diferencovat zlé. V běžném pojetí zlého se mnohem spíše setkáváme s uspořádáním zel, jež je (v každém konkrétním případě) určeno relací „větší než“ (nebo její konverzí). Kdybychom různá zla označili prostě Z₁, Z₂, … Z_n—1, Z_n, může se podařit uspořádat je onou relací tak, že např. platí Z_i ≻ Z_j, kde i ≠ j, 1 ≦ i ≦ k, l ≦ j ≦ k. Takové uspořádání má značný společenský význam tehdy, je-li vtěleno do právního řádu státu, který uspořádává zlé činy od přestupků až do nejtužších zločinů. Kromě jiného se problémem lineárního uspořádání jakýchkoli hodnot zabývá již delší dobu teorie her. Ale takové uspořádání je zcela běžné i v našem jednání; řekneme mnohokrát, že ze dvou zel jsme si vybrali to menší. Lineární uspořádání „zel“ je však něčím jiným než hierarchické odlišení ¹Z₁, ²Z₁, o němž jsme tu mluvili.

V aparátu tradiční nauky o pojmu, jehož jsme se již jednou dotkli, se nám nepodaří operovat s jedinou oblastí „zlého“, jež by dovolila formálně vyjádřit obě části přísloví současně. Podle znění přísloví by jeden z pojmů byl „poznání zlého“ a jeho rozsah, tedy rozsah poznatků, jež by se vztahovaly k zlým činům, by musil být v doplňku rozsahu pojmu, který zahrnuje to, co označujeme jako zlé. Tj. byl by celý v poli toho, co není zlé. Druhým pojmem by podle přísloví byla zlá činnost, v jeho rozsahu činy, jež označujeme jako zlé. V druhé části přísloví se mluví o rozsahu pojmu, který vzniká zkřížením pojmů „poznání zlého“ a „činění zlého“. Avšak tato oblast, oběma právě uvedeným tradičním pojmům společná, je v každém případě částí oblasti zahrnující to, co není zlé. To je ve sporu s požadavkem, že tato oblast by měla ležet v oblasti „zlého“. Není vyloučeno, že k pokusu o podání přísloví v aparátu tradiční logiky by se mohlo vyjít z jiných základních pojmů, avšak jisto je, že jejich určení je natolik vágní, že ukazuje opět na neschopnost tradiční logiky vyjádřit formálně stavbu našeho přísloví.

 

Promluvíme si nyní o přísloví

(12, 375) Ctnosť se sama chválí.

Základní typ formy výroku má tvar ¹Ch₂ (x, y), což je stručný záznam formy výroku: x chválí y. Osamostatníme λ-operátorem predikát ¹Ch₂ takto: (λxy) ¹Ch₂ (x, y) = ¹Ch₂. Pokládáme-li tento predikát za relaci, může být jejím předním oborem množina lidí, zadním oborem také množina lidí, ale i jiné množiny. Je jistě běžné ¹Ch₂ (a, b), kde a je jméno osoby, jež chválí osobu jména b. Ovšem je také ¹Ch₂ (a, d), kde a je opět jméno osoby, ale d je název určitého uměleckého díla. Obvykle bývá, vrátíme-li se ke znění Ch (a, b). a ≠ b. Avšak jsou jistě i případy Ch (a, a), osoba nazvaná a chválí sebe samu. Relace ¹Ch₂ není obecně reflexívní, v množině lidí neplatí vždy ¹Ch₂ (x, x), ale jsou případy, kdy (Ex) ¹Ch₂ (x, x) je empiricky pravdivé. Takové relace se někdy nazývají poloreflexívními. Jiným případem takové relace je relace „učit“. Získáme ji λ-operací z formy výroku x učí y, jinak ¹U₂ (x, y). Zde většinou počítáme s dvojicí různých osob, učitel, žák, ale je zcela běžné také ¹U₂ (x, x) pro konkrétní hodnoty x. Každý z nás je autodidaktem. Pro případ ¹Ch₂ (x, x) to znamená sebechválu, která, jak víme, mnoho neváží a spíše bývá v opovržení. Pak by predikát ¹Ch₂ byl argumentem predikátu druhého řádu, který by případ sebechvály hodnotil, zpravidla negativně.

Tento poslední případ jistě není míněn textem našeho přísloví. Predikát ctnost známe již z rozboru prvního přísloví a určili jsme mu první řád v jednodušším případě, druhý v složitějším. Predikát Ch, který by určoval obrazné tvrzení přísloví, že ctnost se sama chválí, by byl v prvním případě ²Ch₂, v druhém ³Ch₂. Zápis přísloví by byl v prvním případě ²Ch₂ (¹C₁, ¹C₁), v druhém ³Ch₂ (²C₁, ²C₁).

 

[21]Případ poloreflexívní relace budeme mít i v dalším přísloví

(62, 4) Pravda se sama hájí.

Je nepochybné, že tu jde, jako v předchozím případě, o určení obrazné. Z celé řady lidových přísloví o pravdě je patrno, že pravda požívala velké úcty. Proto není těžko porozumět určité personifikaci v přísloví vyjádřené. Mnohá jiná přísloví charakterizují pravdu jako něco nezviklatelného, odolného a nakonec vždy vítězného, takže se nelze divit schopnosti pravdy hájit sebe samu. Obrátíme-li se k formálnímu zápisu, mohli bychom mít určité obtíže při volbě prostředků, jež charakterizují pravdu.[4]

Především budeme uvažovat o pravdě jen v souvislosti s nějakým fixovaným výrokem. Nebudeme hodnocení spočívající v obratu: … je pravda, nebo: … je pravdivé, pokládat ani za predikát zvláštní povahy, protože v názoru na to, zda je to predikát ve smyslu logiky nebo není, se již v minulosti názory lišily. Pro porozumění dalšímu postupu stačí, budeme-li výroky, ať již jsou budovány z jakýchkoli složek predikátové logiky libovolného konečného řádu, kvalifikovat jako pravdivé, resp. nepravdivé. Každý takový výrok, opřený zejména o zkušenost (o kterou nám tu zejména jde), budeme chápat jako pravdu. Bertrand Russell a Alfred North Whitehead ukázali v základním díle moderní logiky, Principia Mathematica,[5] že teorie logických typů se vztahuje i na pravdy, tj. výroky hodnocené jako pravdivé. Proto nelze v systémech, postavených na typové teorii, mluvit o jediné „úrovni“ pravdy, nýbrž, podle stavby výroku samého, o pravdách prvního, druhého, …, n-tého řádu. V předchozím textu máme zachyceny v příslovích pravdivé zkušenosti lidového myšlení, a to ve výrazech predikátové logiky druhého a třetího řádu. Nic nám nebrání, abychom výroky transkribující ona přísloví pokládali za pravdy toho řádu, na který ukazuje jejich stavba v logické hierarchii. (Není to jediný možný přístup k této obtížné problematice.) Budeme tedy pokládat přísloví: Ctnosť a krása velmi spolu svědčí ale řídko bývají, za pravdu druhého řádu v případě α), za pravdu třetího řádu v případě β).

Predikát vyjadřující zkušenost, že pravda se sama hájí, je opět, jako v předchozím, poloreflexívní. Jde o relaci ¹H₂, ke které vede forma výroku ¹H₂ (x, y), x hájí y. Kdyby základem byla množina lidí a oblast jak přední, tak i zadní by byla množinou lidí, byl by predikát H prvního řádu. Jistě je v tom případě dobře srozumitelné ¹H₂ (x, x). Na to poukazuje pravdivost ¹H₂ (a, a) v případě, že a je jménem určité osoby, o níž je známo, že hájí (nebo hájila) samu sebe. Jestliže pravda, o kterou jde, je k-tého řádu (pro k > 1, konečné), je naše poslední přísloví přepsáno výrokem predikátové logiky ^k+1H₂ (^kV, ^kV), jestliže ponecháme neurčené dolní indexy u ^kV.

V této poslední úvaze jsme se úmyslně nedotýkali filozofických problémů spojených s pojmem pravdy, které patří jinam a k jejichž aplikaci na logickou stavbu přísloví se autor necítí kompetentní.

 

[22]Závěrem učiníme ještě tři poznámky:

Za prvé, formální aparát, kterého jsme užili, je v podstatě aparát extenzionální logiky, jak ostatně bylo patrno z odkazu na Carnapův jazyk C. Je zcela dobře možné, že alespoň právě tak vhodný by mohl být aparát některé intenzionální logiky, pokud ovšem počítá s hierarchií typů. Takovým systémem by mohl být systém intenzionální logiky P. Materny, který užívá modifikované Churchovy jednoduché teorie typů.

Za druhé, některá lidová přísloví poukazují sama velmi zajímavě na tušení hierarchie typů. Uvedu tu bez dalšího rozboru, který by nebyl obtížný, jen dva příklady z Čelakovského: (205, 11) Jest rozum nad rozum (české přísloví), (147, 366) Strážný nad strážným a oba kradou (polské přísloví).

Za třetí, je známo, že k logickému vybudování tak základních disciplín matematických, jakou je teorie množin, není třeba počítat se systémem, v němž je zabudováno typové rozlišení. V takovém systému mohou být individua, třídy individuí, třídy tříd individuí atd. hodnotami téže (jedné) proměnné a být také prvky jedné třídy. Tak vznikají tzv. nehomogenní třídy, jež jsme ze svých úvah vyloučili, protože respektujeme různost typů a hierarchii predikátů. Systémy bez typového rozlišení mají některé výhody matematického rázu, o nichž tu nebudeme hovořit, proti systémům opírajícím se o teorii typů. Avšak jak podotýká Carnap (1973), „zdá se, že tato jazyková forma je nepřirozená vzhledem k větám nikoli logickým (tj. k větám, jež nejsou jen logicky pravdivé, viz v našem textu výše, O. Z.): protože také pro deskriptivní znaky není provedeno žádné typové rozlišení, jsou formule, jež odpovídají následujícím větám, přípustné v těchto systémech jako smysluplné věty: „Číslo 5 je modré“, „Relace přátelství váží 3 kg“ apod.“

Tyto drastické příklady svědčí dostatečně o tom, že při užití soudobé logiky v rozboru vět přirozeného jazyka nelze opustit teorii typů a hierarchizování predikátů, ať již systém sám je budován jinak než jazyk Russellův, kterého jsme v podstatě užili v tomto článku.[6]

 

LITERATURA

 

CARNAP, R.: Einführung in die symbolische Logik. Dritte unveränderte Auflage, Nachdruck. Wien - New York 1973, s. 109—110, s. 83.

ČELAKOVSKÝ, F. L.: Mudrosloví národů slovanských v příslovích. Uspořádal J. V. Novák, 2. vyd. Praha 1893.

MATERNA, P.: Theory of types and data description. Kybernetika, 14, 1978, s. 313—327.

RUSSELL, B. — WHITEHEAD, A. N.: Einführung in die mathematische Logik. München - Berlin 1932, s. 62, popř. 89—90.

 

R É S U M É

Les proverbes nationaux et la théorie des types logiques

L’article se propose de montrer la nature assez compliquée de la structure logique qui caractérise les proverbes nationaux. Nous nous servons de la langue de Russell - Whitehead (Principia Mathematica) légèrement modifiée par Carnap (voir son livre Einführung in die symbolische Logik, cité dans le texte tchèque, il s’agit de la langue C). C’est une langue basée sur la théorie [23]des types logiques qui distingue divers ordres des fonctions propositionelles (ou simplement des prédicats). L’application de cette théorie montre que les proverbes comptent tout à fait naturellement avec des abstractions assez élévées. Ce trait remarquable peut être découvert au moyen d’une traduction qui coordonne à chaque proverbe son équivalent symbolique. Ce procédé nous montre la nécessité de distinguer les prédicats du divers ordre p.e. dans le cas d’une propriété des propriétés. Le deuxième ordre des propriétés ou relations (binaires) est bien fréquent mais on peut rencontrer sans difficulté l’ordre troisième ou encore supérieur. On trouve p.e. deux prédicats dont l’expression verbale est la même tandis que leur signification (au point de vue du type logique) est différente. Voici le proverbe suivant cité dans le texte tchèque. «Connaître le mal n’est pas mal; mais connaître le mal et le faire est mal». La deuxième partie du proverbe montre qu’il faut différencier l’ordre du premier et du deuxième prédicat «mal». Dans le proverbe (cité aussi dans le texte tchèque) suivant «La vérité se défend elle même» nous avons l’ordre de la relation «se défendre» k + 1 quand la vérité de laquelle il s’agit est de l’ordre k. Il est bien connu que dans le systéme de Russell et Whitehead on doit distinguer l’ordre logique de vérités diverses. L’analyse de proverbes dans le cadre de la logique moderne montre que leur représentation appuyée sur la logique traditionelle est non seulement inadequate mais même fausse. Ce qui peut être démonstré facilement au moyen de la représentation eulerienne. A la fin il faut remarquer que les systèmes logiques qui ne sont point basés sur la théorie des types, comme p.e. quelques théories axiomatiques de la théorie des ensembles (Zermelo - Fraenkel) sont obligés d’admettre des propositions comme la suivante: «Le numéro 5 est bleu». Mais c’est l’exemple d’une proposition qui est privée de sens dans les conditions normales de notre communication quotidienne.

Slovo a slovesnost, ročník 42 (1981), číslo 1, s. 16-23

Předchozí Ladislav Nebeský: Matematické vlastnosti větných struktur

Následující Jan Kořenský: K problému kontextově podmíněné realizace propozičních struktur