Matematické vlastnosti větných struktur

Ladislav Nebeský

[Articles]

(pdf)

Математические свойства структур предложения / Les qualités mathématiques des structures syntaxiques

1. V lingvistice se často rozlišují dvě základní koncepce syntaxe: závislostní a složková. Každá z nich nazírá větnou strukturu jinak a akcentuje její jiné aspekty.

1.1. Závislostní koncepce se opírá o představu, že větná struktura je výsledkem vazeb mezi některými uspořádanými dvojicemi slovních tvarů ve větě, dvojicemi, jejichž druhé členy „závisejí“ na prvních (srov. např. Novák, 1966).[1] Při znázorňování těchto vazeb se tradičně užívá diagramů (Šmilauer, 1958; Tesnière, 1959). Avšak z toho, co se při tradičním větném rozboru zdá být jen užitečnou pomůckou, stává se při formálnějším postupu matematický objekt: orientovaný graf. Slovní tvary ve větě se chápou jako jeho uzly, uspořádané dvojice jako jeho hrany. Dohodneme-li se, že hrana míří k tomu slovnímu tvaru, který je ve dvojici závislý a že holý podmět závisí na holém přísudku (srov. Padučeva, 1964), potom závislostní strukturu věty Tvá dcera velmi dobře bruslí popisuje graf — budeme o něm hovořit jako o grafu závislosti — s těmito čtyřmi hranami (závislost budeme značit šipkou): bruslí → dcera, dcera → tvá, bruslí → dobře, dobře → velmi; graf s těmito hranami bychom ovšem mohli znázornit jedinou kresbou.

Orientovaný graf (dále jen graf) je tedy určen svými uzly a hranami. Hrany nám umožňují v grafu „cestovat“. Především lze cestovat ve směru šipek. Jestliže se lze z uzlu x ve směru šipek dostat po hranách až do uzlu y, říkáme, že y je dosažitelný z x. Je výhodné připouštět i „prázdné cestování“; proto budeme o uzlu předpokládat, že je dosažitelný i sám ze sebe. Kromě toho je užitečné cestovat po hranách bez ohledu na jejich směr (po šipce i proti ní). Jestliže pro každé dva uzly x a y platí, že z x do y lze při pomíjení směru hran docestovat právě jedním způsobem, potom říkáme, že graf je strom (sledovali jsme přitom i dvojice uzlů, kdy y = x). Řekneme, že strom je vrcholový, když v něm existuje právě jeden uzel, z něhož jsou dosažitelné všechny uzly (říkáme mu vrchol). Graf závislosti věty Tvá dcera velmi dobře bruslí je zřejmě vrcholový strom. (Dobrý průhled do teorie grafů nabízí knížka J. Sedláčka (1977). Elementární, ale k lingvistickým aplikacím zaměřený úvod podává první část skript Nebeského (1975)).

Graf tedy může sloužit k modelování závislostní struktury věty. Lingvisté se však liší v tom, jak tohoto matematického modelu využívají. Například v tom, které slovní tvary ve větě považují za uzly a které nikoli.[2] Ale nejde jen o uzly. Pro některé jevy ve větě je závislostní graf jako model „příliš těsný“, lépe je lze modelovat obecnějšími matematickými objekty (viz níže); cenou za to je menší průzračnost takových modelů (dají se hůře kreslit).

Uvažujeme-li o modelu závislostní struktury věty, je vhodné si ujasnit rozpětí, v jehož rámci model operuje. Východiskem našich úvah je představa, že větě je přiřazen graf závislosti; matematické vlastnosti tohoto modelu omezují pravidla, jak s ním „formálně zacházet“ (kdyby nešlo o strukturu, ale o číselnou veličinu, mohli bychom říci „jak s ní počítat“). Existuje však alespoň jeden matematický model, pro který představa, že je větě přiřazen graf závislosti, je naopak cílem; tedy model, který se pokouší závislost ve větě definovat.[3] Nabízí se otázka, zda by ne[10]bylo zajímavé provést obojí současně, tj. spojit „definující“ model s „počítajícím“. V historii teorie pravděpodobnosti však naopak nacházíme poučný příklad toho, jak teprve opuštění podobně širokého záměru při formulování jejích principů vedlo k pevnému vybudování základů této teorie.[4]

Zatím jsme nehovořili o slovosledu. Avšak právě spojení grafů závislosti se slovosledem vnáší do závislostní syntaxe závažný impuls. Nemohlo by tomu tak být, kdyby byl slovosled na syntaktických vztazích nezávislý. Na přelomu 50. a 60. let byl objeven princip projektivity, který závislostní vztah a slovosled navzájem váže.[5] Nechť je dána nějaká věta i její graf závislosti. Řízeným týmem nazveme takovou množinu uzlů, že existuje právě jeden uzel, z něhož jsou všechny uzly této množiny dosažitelné.[6] Řekneme, že nějaká množina slovních tvarů (uzlů) ve větě tvoří interval vzhledem k slovosledu, když sled slov této množiny není ve větě přerušen žádným slovním tvarem, který do množiny nepatří (pokud některé slovní tvary nepovažujeme za uzly, nepovažujeme je ani za přerušení sledu slov množiny).[7] Věta je projektivní, právě když každý její řízený tým je intervalem vzhledem k slovosledu; další ekvivalentní definice projektivity lze najít v knize S. Marcuse (1967).

Princip projektivity předpokládá, že věty jsou projektivní (teprve s tímto principem je námi uvažovaný model závislosti úplný). Ve prospěch principu projektivity se zpravidla argumentuje výjimečností neprojektivních vět, a to buď z hlediska jejich frekvence nebo z hlediska stylu (autorova neumělost nebo naopak záměrná výlučnost) nebo z hlediska postavení v jazykovém systému (jde např. o ustálená slovní spojení); srov. Gladkij (1973), Marcus (1967), Padučeva (1964), Revzin (1977), Šrejder (1978), Uhlířová (1972). Nejpozoruhodnější na projektivitě je vysoká abstraktnost této vlastnosti: v její definici není žádný odkaz na povahu slovních tvarů, jichž se týká; to ovšem také naznačuje její meze. Snad lze princip projektivity chápat podobně jako základní zákony aerodynamiky: „přesně“ platí pro (neexistující) ideální plyn, ale v uspokojivých mezích jsou dobře použitelné pro plyny reálné.

Princip projektivity je zvláštním případem obecnějšího principu, který v rozličných situacích člověk vytváří nebo objevuje: Je dán základní soubor prvků a na něm definována množina nějakých podmnožin — říkejme jim týmy — chápaných jako vyhraněné celky; základní soubor prvků je (nebo má být) lineárně uspořádán tak, aby vzhledem k tomuto uspořádání zůstala celistvost týmu zachována, tj. aby každý z nich byl intervalem.

Často se předpokládá, že grafy závislosti jsou vrcholové stromy.[8] Za tohoto předpokladu se žádné dva řízené týmy téže věty neprotínají (budeme říkat, že se dvě množiny protínají, když mají alespoň jeden prvek společný a přitom každá z nich obsahuje alespoň jeden prvek, který nepatří do té druhé). Nechť tedy grafy závislosti jsou vrcholové stromy. Za tohoto předpokladu je možné ukázat, že princip projektivity lze chápat jako zvláštní případ jiného obecného principu: kreslení bez křížení čar; pro speciální formu kreslení to bylo známo již dlouho (srov. např. [11]Marcus, 1967, s. 237—240), v obecné formě to ukázal autor (1975). Je však možné ukázat ještě další obecný princip, jehož je projektivita zvláštním případem: princip ekonomického procházení strukturou známý jako problém obchodního cestujícího (Sedláček, 1977, s. 62). Z hlediska principu ekonomického procházení strukturou lze projektivitu charakterizovat takto: Představme si, že ve vrcholovém stromu, který je závislostním grafem věty o n uzlech, cestujeme od (slovosledně) prvního uzlu k druhému, od druhého k třetímu, …, od předposledního k poslednímu, od posledního k vrcholu a konečně od vrcholu zpět k prvnímu uzlu. Lze dokázat, že taková procházka vede přes alespoň 2(n — 1) hran (každou hranu počítáme tolikrát, kolikrát jí procházíme) a přitom minimální hodnoty 2(n — 1) je dosaženo, právě když je věta projektivní (Nebeský, 1980). Projektivní věty jsou tedy právě ty, které lze popsaným způsobem projít nejekonomičtěji.

1.2. Složkové pojetí větné struktury se opírá o představu, že věta se postupně člení na menší a menší „složky“ až po jednotlivé slovní tvary. Pokud tyto složky budeme chápat jako množiny slovních tvarů, budeme o nich hovořit jako o složkových týmech.[9] Složkovou strukturu však můžeme také vyjádřit grafem, jehož uzly jsou právě složky, tj. jak slovní tvary, tak i ostatní složky pojaté jako abstraktní objekty.[10] Je pravidlem předpokládat, že graf složkové struktury je vrcholový strom. Za tohoto předpokladu se složkové týmy neprotínají.[11]

Bohatší pohled na složkové pojetí větné struktury získáme, zahrneme-li do svých úvah i slovosled. To, co pro závislostní strukturu znamená projektivita, znamená pro složkovou strukturu spojitost. Říkáme, že věta je spojitá, když každý složkový tým je intervalem vzhledem k slovosledu. I zde tedy nacházíme zvláštní případ principu, o němž jsme již hovořili. Pokud bychom složkovou strukturu vyjadřovali vrcholovým stromem, mohli bychom ukázat, že platí i další dva principy, na které jsme upozornili v souvislosti s projektivitou (princip kreslení bez křížení a princip ekonomického procházení); souvislost s kreslením bez křížení je vysvětlena ve skriptech (Nebeský, 1975).

Vlastnosti projektivních vět (vrcholových stromů) a spojitých vět (vrcholových stromů) můžeme studovat zcela souběžně (Nebeský, 1975), ale nebývalo to pravidlem. Obě základní koncepce větné struktury mají odlišnou historii, která se promítá i do způsobů, jakými jsou popisovány.[12] Postavení složkového pojetí v lingvistice výrazně ovlivnil rozvoj generativních gramatik. Zatímco závislostní pojetí syntaxe bylo rozvojem generativních modelů jazyka ovlivněno až druhotně a rozvíjelo se i mimo jeho vlivy, složkové pojetí (zformulované především Wellsem, 1947) se stalo významnou součástí mechanismu frázových (a zprostředkovaně i transformačních) gramatik, leckdy se však jevilo jako jejich pouhá součást.[13]

1.3. Podobnost matematického modelu závislostní syntaxe s matematickým modelem syntaxe složkové naznačuje cestu, jak obě pojetí syntaxe společně zobecnit. Ve vrcholovém stromu, který modeluje závislostní strukturu věty, je každý uzel slovním tvarem. Ve vrcholovém stromu, který modeluje složkovou strukturu věty, [12]jsou slovní tvary jeho koncovými uzly (tj. těmi, z nichž již žádná hrana nevychází). Vrcholový strom, jehož každý koncový uzel je slovním tvarem, ale v němž mohou být případně slovními tvary i další uzly, je matematickým modelem pro obecnější pojetí syntaxe. Takové pojetí se zdá být užitečné, protože pro některé jevy ve větě je přirozenější závislostní popis a pro jiné naopak složkový. Všimněme si např. věty Celý první oddíl zůstane zítra doma. Začneme-li ji popisovat závislostně, potom pro příslušný vrcholový strom dostáváme především hrany zůstane → zítra a zůstane → doma. Spojení celý první oddíl je však přirozenější popsat složkově. Tedy zavést abstraktní složky α a β (jde o jména sloužící k jejich rozlišení, nikoli o nonterminální symboly známé z frázových gramatik) a přidat tyto hrany: α → β, α → celý, β → první a β → oddíl. Konečně zbývá obě části popisu propojit tak, aby celá složka α závisela na tvaru zůstane, tedy připojit hranu zůstane → α, která seznam hran vrcholového stromu uzavírá. Máme-li takový obecný popis větné struktury vrcholovým stromem, můžeme k němu rovněž zobecnit pojmy řízených a složkových týmů. Dosažitelným týmem věty při takovém popisu budeme rozumět množinu slovních tvarů věty, která je dosažitelná z jediného uzlu. Všimněme si, že všechny dosažitelné týmy věty Celý první oddíl zůstane zítra doma jsou intervaly vzhledem k slovosledu.[14] Zjistili bychom, že odpovídající zobecnění principu projektivity a principu spojitosti můžeme chápat jako zvláštní případ kteréhokoli ze tří principů, o nichž jsme se již dvakrát zmínili. Vzniká závažná otázka, jak a zda principy zachování intervalů, kreslení bez křížení a ekonomického procházení struktur, které se v lidské činnosti v řadě variací objevují, souvisí s lidskou psychikou a zda se dají jednotně vysvětlit.

Společností se v matematice rozumí daná konečná množina prvků s nějakou danou množinou podmnožin výchozí množiny prvků; o těchto podmnožinách se hovoří jako o týmech společnosti.[15] Předpokládejme, že větě je přiřazena společnost, jejímiž členy jsou slovní tvary ve větě a jejíž týmy popisují větnou strukturu (zvláštními případy mohou být řízené týmy nebo složkové týmy). Budeme říkat, že věta s takto popsanou strukturou je projektoidní, když každý tým je intervalem vzhledem k slovosledu. Pojem společnosti nám nabízí velmi obecný nástroj k modelování větné struktury; nástroj, který ani za obvyklého předpokladu, že se týmy neprotínají, není odvoditelný z vrcholového stromu (či vůbec grafu); nástroj, který nás zejména nenutí rozebírat ustálená spojení až na jednotlivé slovní tvary.[16]

2. Skutečnost, že lingvistika rozpracovala dvě rozdílná pojetí větné struktury, vedla k přirozeným otázkám po vztahu rozdílných syntaktických popisů téže věty, např. k otázce, kdy ze spojitosti vyplývá její projektivita. Takovou otázku řešila Padučeva (1964),[17] podobně i když s poněkud jiným záměrem postupovali Nebeský a Sgall (1965). Odpověď na zmíněnou otázku může být podmíněna slovosledem. Chceme-li znát odpověď na slovosledu nezávislou (tj. zajímáme-li se o vztah dvou „soumístných“ syntaktických struktur), musíme klást otázku abstraktněji.

Protovětou budeme rozumět to, co z věty zůstává, abstrahujeme-li od jejího slovosledu (Nebeský, a). Protověta se tedy liší od věty tím, že nemá slovosled. Přidáním vhodného slovosledu dostáváme z protověty větu. Pro jednoduchost budeme protověty abstrahovat pouze z vět, v nichž se žádný tvar nevyskytuje více než jednou. Protovětou je potom množina slovních tvarů nějaké věty spolu se všemi vztahy, které ze slovosledu nevyplývají.

[13]2.1. Vraťme se k zmíněné otázce a formulujme ji pro protovětu. Uvažujme nějakou protovětu P a předpokládejme, že její složková, resp. závislostní struktura je popsána vrcholovým stromem Σ_S, resp. Σ_Z. Každé lineární uspořádání slovních tvarů protověty P nazveme jejím potenciálním slovosledem. Ptejme se, jaký musí být vztah mezi vrcholovými stromy Σ_S a Σ_Z, aby pro každý potenciální slovosled ≦ platilo: když každý složkový tým je intervalem vzhledem k ≦, tak také každý řízený tým je intervalem vzhledem k ≦. Autor ukázal, že to platí, právě když vrcholový strom Σ_S lze jistým způsobem „zmenšit“ do podoby Σ_Z (viz Nebeský, a). Z toho plyne, že je-li Σ_Z „zmenšením“ vrcholového stromu Σ_S, tak každá spojitá věta, z níž odstraněním slovosledu získáme protovětu P, je projektivní.

2.2. Podobně jako strukturu věty i strukturu protověty můžeme popisovat společností. Řekneme, že společnost je projektoidem, když existuje takové uspořádání jejích prvků, při kterém každý tým je intervalem. Není těžké dokázat, že každá společnost, jejíž žádné dva týmy se neprotínají, je projektoid.

Jakmile však protínání týmů připustíme (např. tak, že je odvozujeme od grafů závislosti, které nejsou „redukovatelné“ na vrcholové stromy nebo tak, že při složkovém rozboru objevujeme podobné jevy jako u formulí typu a ≦ b < c), zjištění, zda společnost je projektoidem, bývá složitější; obecně společnost být projektoidem nemusí. Pro to, zda společnost je či není projektoidem, bylo již nalezeno několik nutných a postačujících podmínek (srov. Nebeský, b, kde je termín projektoid zaveden). Zájem o projektoidy se objevil v souvislosti s třemi vědními obory, které spojuje pojem „informace“: s genetikou, dokumentaristikou a lingvistikou.[18] Studium projektoidů je názorným příkladem toho, jak matematika může fungovat jako prostředek směny myšlenek mezi různými vědními obory.

Předpokládejme, že strukturu protověty P máme popsánu souborem projektoidů; různé projektoidy akcentují různé aspekty v struktuře protověty P. (Takový soubor projektoidů je alespoň dvojčlenný: zahrnuje projektoid řízených týmů a projektoid složkových týmů.) Budeme říkat, že z projektoidu Π₁ protověty P vyplývá projektoid Π₂ téže protověty, když pro každý potenciální slovosled (viz odst. 2.1.) ≦ platí, že jestliže každý tým projektoidu Π₁ je intervalem vzhledem k ≦, tak také každý tým projektoidu Π₂ je intervalem vzhledem k ≦. (Stručně řečeno, z jednoho projektoidu vyplývá druhý, právě když ten druhý připouští alespoň všechna ta projektoidní uspořádání jako ten první.) Na úrovni týmů je zjištění, zda z Π₁ vyplývá Π₂, dobře kontrolovatelné. Řekněme, že tým je netriviální, když má alespoň dva a nejvýše n — 1 prvků, kde n je počet slovních tvarů protověty P. Za předpokladu, že se omezíme jen na projektoidy bez protínajících se týmů, není těžké dokázat, že z projektoidu Π₁ vyplývá projektoid Π₂, tehdy a jen tehdy, když každý netriviální tým patřící do Π₂ patří i do Π₁.[19] Z uvedeného tvrzení dostáváme, že pokud každý netriviální tým projektoidu Π₂ patří i do Π₁, tak každá větná realizace protověty P, která je projektoidní při popisu projektoidem Π₁, je projektoidní i při popisu projektoidem Π₂.

3. V odst. 1.3. a 1.4. jsme ukázali, že ze dvou „polárních“ popisů větné struktury můžeme odvodit celou širokou stupnici dalších možných popisů, které se navzájem liší tím, co v struktuře věty akcentují. Taková pluralita popisů by však stěží mohla být ziskem, kdybychom nenalézali kritérium, podle něhož bychom jeden popis dokázali preferovat před druhým. Takové kritérium odvodíme z principu projektoidity, jehož význam jsme se zde pokusili prokázat.

[14]Zvolíme nějakou větu S. Abstrahováním od slovosledu z ní získáme protovětu P. Jako Ω označíme množinu všech vět, z nichž lze abstrahováním od slovosledu získat protovětu P. Do množiny Ω bude tedy přinejmenším patřit věta S; je-li však slovosled věty S v nějaké míře „volný“, budou do Ω patřit i jiné věty; věty patřící do Ω se ovšem budou navzájem lišit možnostmi svého kontextového zapojení. Mějme nějaký soubor projektoidů, které bereme v úvahu jako možné popisy struktury věty S (a tedy i každé věty z množiny Ω). Je-li Π některý z těchto projektoidů, potom jako U(Π) označíme množinu všech lineárních uspořádání slovních tvarů věty S, které jsou při popisu projektoidem Π projektoidní (tj. v nichž každý tým projektoidu Π je intervalem); do U(Π) mohou patřit i taková uspořádání slovních tvarů, která do množiny Ω nepatří (buď proto, že bychom je vůbec nepřijali za větu, nebo proto, že bychom je sice za větu považovali, ale již nikoli za větu patřící k protovětě P). A nyní vlastní kritérium: Projektoid Π_ad budeme považovat za adekvátní popis struktury věty S, když (1) každá věta patřící do Ω, patří i do U(Π_ad), a zároveň platí, že (2) pro žádný projektoid Π_o, který rovněž splňuje podmínku (1), nemá množina U(Π_o) — Ω méně prvků než množina U(Π_ad) — Ω.[20] Při hledání projektoidu Π_ad můžeme využít tvrzení uvedené v odst. 2.2.

4. Projektoidita (a zvláště její dva „polární“ případy, tj. projektivita a spojitost) představuje jedno z pojítek, které svazuje tradiční lingvistické postupy s matematikou. Pokusili jsme se ukázat, co je možné z vlastností projektoidity vytěžit. Užití matematického principu v empirické vědě má ovšem své meze. Tím účinněji bychom mohli princip projektoidity zapojit do pojmové soustavy lingvistiky, čím přesněji bychom tyto meze dokázali určit.

 

LITERATURA

 

ESWAREN, K. P.: Faithful representation of a family of sets of intervals. SIAM J. Comput. 4, 1975, s. 56—68.

FABIÁN, F.: Z teorie pravděpodobnosti. In: Cesty moderní matematiky, Praha 1976, s. 118—135.

FULKERSON, D. R. - GROSS, O.: Incidence matrices and interval graphs. Pacific J. Mathematics, 15, 1965, s. 835—855.

GLADKIJ, A. V.: Formaľnyje grammatiki i jazyki. Moskva 1973.

MARCUS, S.: Algebraic linguistics; Analytical models. New York and London 1967.

NEBESKÝ, L.: O jedné formalizaci větného rozboru. SaS, 23, 1962, s. 104—107.

NEBESKÝ, L.: On one of the boundaries of the constituent conception of grammar. Kybernetika, 7, 1971, s. 227—229.

NEBESKÝ, L.: Užití teorie grafů v lingvistice. Skripta Univerzity Karlovy. Praha 1975.

NEBESKÝ, L.: Projectivity as a minimalization. In: PBML 1980 (v tisku).

NEBESKÝ, L.: On syntactic structures of protosentences. Linguistica Generalia, III. (v tisku; a).

NEBESKÝ, L.: On a certain numbering of the vertices of a hypergraph. (Postoupeno k publikaci; b).

NEBESKÝ, L.: On a certain numbering of the vertices of a hypergraph II. (Postoupeno k publikaci; c).

NEBESKÝ, L., - SGALL, P.: Relace a operace v syntaxi. SaS, 16, 1965, s. 218—223.

NEŠETŘIL, J.: Kombinatorika. Praha 1975.

NOVÁK, P.: Závislostní koncepce v syntaxi (habil. práce na FF UK v Praze, 1966).

[15]PADUČEVA, J. V.: O sposobach predstavlenija sintaksičeskoj struktury predloženija. VJaz, 13, 1964, č. 2, s. 99—113.

REVZIN, I. I.: Sovremennaja strukturnaja lingvistika. Moskva 1977.

SEDLÁČEK, J.: Úvod do teorie grafů. Praha 1977.

STARÝ, Z.: O lingvistice z hlediska hlediska (kandid. disert. práce na FF UK v Praze, 1980).

ŠMILAUER, V.: Učebnice větného rozboru. Praha 1958.

ŠREJDER, J. A.: Binární relace. Praha 1978.

TESNIÈRE, L.: Eléments de syntaxe structurale. Paris 1959.

UHLÍŘOVÁ, L.: On non-projective constructions in Czech. In: PSML, 3., Praha 1972, s. 171—181.

WELLS, R. S.: Immediate constituents. Language, 23, 1947, s. 444—466.

 

R É S U M É

Mathematical properties of sentence structures

In linguistics two basic conceptions of syntax are often distinguished: the dependency conception and the constituent conception. The two conceptions allow to model the sentence structures by similar mathematical means, first of all, by directed graphs. The relationship between the dependency structure and the word order frequently manifests itself in the projectivity, the relation between the constituent structure and the word order results in the continity.

The author demonstrates that from the two „polar” models of the sentence structure — the dependency and the constituent models — it is possible to derive a large scale of further models distinguished from each other by the events which they accentuate in the sentence structure; the projectivity and the continity then present „polar” instances of a general property — the projectoidity. A criterion is introduced allowing to compare different structural models of the same sentence and to prefer a model to another.

Slovo a slovesnost, volume 42 (1981), number 1, pp. 9-15

Previous Marie Těšitelová: Ke kvantitativní analýze textu

Next Otakar Zich: Lidová přísloví a teorie logických typů